PE Notes · 확률통계
자기회귀모형 vs 이동평균모형
과거 값으로 읽는 AR과 과거 오차로 읽는 MA를 가르고, 정상성·ACF·PACF로 ARMA·ARIMA 차수를 고르는 절차를 정리합니다.
어제의 값으로 오늘을 읽을 것인지, 어제의 충격으로 읽을 것인지는 시계열에서 갈립니다. 는 현재를 자신의 과거 시차로 설명합니다. 은 현재를 과거 오차항의 가중합으로 설명합니다. 둘을 붙이면 ARMA, 비정상을 차분하면 입니다.
식과 정상성
AR(p)는 Xₜ = c + Σ φᵢ Xₜ₋ᵢ + εₜ입니다. 어제 기온이 오늘을 끌어당기는 식입니다. MA(q)는 Xₜ = μ + εₜ + Σ θⱼ εₜ₋ⱼ입니다. 어제 충격은 짧게 남고 사라집니다. ARMA는 정상 시계열의 결합, ARIMA(p,d,q)는 d번 차분 뒤의 ARMA, 계절을 넣으면 SARIMA입니다.
은 평균이 일정하고, 분산이 일정하며, 자기공분산이 시차에만 의존하는 상태입니다. 추세나 분산 팽창이 있으면 ΔXₜ = Xₜ − Xₜ₋₁로 한 칸 내립니다. 차분 횟수가 d입니다. 정상이 아니면 ARMA 계수가 의미를 잃습니다.
| 모형 | 보는 과거 | 전제 |
|---|---|---|
| AR(p) | 자기 값 p개 | 정상 |
| MA(q) | 오차 q개 | 정상 |
| ARMA(p,q) | 둘 | 정상 |
| ARIMA(p,d,q) | 차분 후 둘 | 차분으로 정상화 |
식별과 절차
가 p에서 급격히 끊기면 AR(p) 후보입니다. 가 q에서 끊기면 MA(q) 후보입니다. 둘 다 천천히 줄어들면 ARMA입니다. 식별은 힌트이지 증명이 아닙니다. ADF로 정상을 보고 d를 정한 뒤, ACF·PACF로 p·q를 좁히고, AIC·BIC가 작은 모형을 남깁니다. 잔차가 백색잡음인지(Ljung-Box)를 확인하고 예측을 엽니다.
| 패턴 | 후보 |
|---|---|
| PACF 절단, ACF 감소 | AR |
| ACF 절단, PACF 감소 | MA |
| 둘 다 감소 | ARMA |
ARIMA는 선형·소표본에서 해석이 남습니다. 은 비선형·장기 의존에 강하고 데이터가 많이 필요합니다. 답안은 두 식, 정상 세 조건, ACF·PACF 표, (p,d,q) 절차를 한 장에 닫습니다.