PE Notes · 확률통계
정규분포 vs 이항분포 vs 포아송분포
연속 종 모양의 정규, n번 성공 횟수의 이항, 단위 시간 희귀 사건의 포아송을 파라미터·평균·분산으로 가르고, 정규 근사와 68-95-99.7 규칙을 정리합니다.
키는 가운데가 두텁고, 불량 개수는 세며, 한 시간 사고는 드물게 일어납니다. 같은 “확률”이라도 칸이 다릅니다. 는 연속 종 모양, 는 n번 독립 시행의 성공 횟수, 는 단위 시간·공간의 희귀 사건 횟수입니다.
세 분포를 한 표에
정규는 μ와 σ²로 위치와 퍼짐을 정합니다. 평균·중앙값·최빈값이 같고, 좌우가 대칭입니다. 이항은 시행 수 n과 성공 확률 p이고, 평균 np, 분산 np(1−p)입니다. 포아송은 단위당 평균 발생 λ 하나이며, 평균과 분산이 둘 다 λ입니다. λ가 커지면 종에 가까워집니다.
| 비교축 | 정규 | 이항 | 포아송 |
|---|---|---|---|
| 유형 | 연속 | 이산 | 이산 |
| 파라미터 | μ, σ² | n, p | λ |
| 평균 | μ | np | λ |
| 분산 | σ² | np(1−p) | λ |
| 자리 | 키·오차·측정 | 불량·클릭 성공 | 사고·접속·고장 |
정규의 경험 규칙은 μ±σ에 약 68%, ±2σ에 95%, ±3σ에 99.7%입니다. 표준화 Z=(X−μ)/σ는 N(0,1)로 보냅니다. 가설검정과 신뢰구간의 z값이 여기서 나옵니다.
근사와 식
이항이 정규에 기대앉으려면 np≥5 그리고 n(1−p)≥5가 관례입니다. p가 극단이면 n이 커도 한쪽으로 기울어 남습니다. 포아송은 사건이 독립이고 발생률이 일정한 과정에서 나오며, λ가 크면 역시 정규 근사가 됩니다. 가 이 수렴을 한 줄로 받칩니다. 표본평균의 모양이 정규로 가는 것과, 이항·포아송 자체가 정규로 보이는 것은 같은 감각의 다른 층입니다.
밀도·질량은 이렇게 적습니다. 정규 PDF는 (1/√(2πσ²))·exp(−(x−μ)²/(2σ²)), 이항 PMF는 C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ, 포아송 PMF는 (λᵏ e⁻λ)/k! 입니다. 연속은 구간의 넓이, 이산은 점의 높이입니다. 이항에서 n=1이면 베르누이입니다. n이 크고 p가 매우 작으며 λ=np가 중간이면, 이항은 포아송으로도 근사됩니다.
| 분포 | 현장에서 |
|---|---|
| 정규 | 오차 모형, 가우시안 나이브 베이즈, 이상 점수 |
| 이항 | 성공/실패 시행, 분류 정답 횟수 |
| 포아송 | 희귀 이벤트, 패킷 도착, 단위 시간 민원 |
답안은 세 분포의 유형·파라미터·평균·분산, 68-95-99.7, 이항 정규근사 조건, 포아송의 평균=분산을 한 표에 닫습니다.