PE Notes · 확률통계
중심극한정리와 t·z 검정
표본평균이 정규로 기대앉는 중심극한정리와 값 자체가 모평균으로 가는 대수의 법칙을 가르고, σ·표본 크기에 따라 z 검정과 t 검정을 고르는 법을 정리합니다.
모집단이 찌그러져 있어도, 표본평균을 여러 번 찍으면 종이 나타납니다. 는 분포의 모양을 정규로 바꾸고, 은 그 평균값 자체를 모평균에 붙입니다. 추론이 모집단 모양을 몰라도 굴러가는 이유가 이 두 줄입니다.
모양이 정규로, 값이 모평균으로
n이 충분히 크면 표본평균 x̄는 대략 N(μ, σ²/n)을 따릅니다. 관례 문턱은 n≥30입니다. 퍼짐의 크기가 SE=σ/√n 입니다. n을 키우면 평균의 흩어짐이 줄어 추정은 또렷해집니다. 한 번의 표본평균이 정규라는 뜻이 아니라, 같은 크기로 반복 추출한 평균들의 분포가 정규에 가깝다는 뜻입니다.
대수의 법칙은 n이 커질수록 x̄ → μ 입니다. 관심은 값의 수렴입니다. CLT의 관심은 분포의 형태입니다. 둘을 한 문장에 섞으면 답이 흐려집니다. 큰 수면 평균은 참값 근처에 모이고, 그 근처의 구름 모양이 정규라는 것이 짝입니다.
| 비교축 | 대수의 법칙 | CLT |
|---|---|---|
| 보는 것 | 값의 수렴 | 분포의 형태 |
| 결론 | x̄ → μ | x̄ 분포 → 정규 |
| n의 역할 | 참값에 붙인다 | 종 모양을 만든다 |
z인가 t인가
모표준편차 σ를 알거나 n이 크면 입니다. 통계량은 (x̄−μ)/(σ/√n) 이고, 표준정규를 봅니다. σ를 모르고 표본이 작으면 입니다. 분모는 s/√n, 는 n−1입니다. t는 꼬리가 더 두껍습니다. 작은 n에서 극단값이 나올 여지를 남깁니다. n이 커지면 t는 정규에 붙습니다.
| 비교축 | z 검정 | t 검정 |
|---|---|---|
| 조건 | σ를 알거나 n≥30 | σ를 모르고 n이 작다 |
| 분포 | N(0,1) | t(n−1) |
| 통계량 | (x̄−μ)/(σ/√n) | (x̄−μ)/(s/√n) |
| 꼬리 | 얇다 | 두껍다. df가 작을수록 |
절차는 가설검정과 같습니다. H₀: μ=μ₀를 두고 통계량을 구한 뒤, t표 또는 z표에서 p를 읽어 α와 비교합니다. 95% 구간은 z면 x̄±1.96·σ/√n, t면 x̄±t(n−1, 0.025)·s/√n 입니다. 구간이 μ₀를 안 품으면 같은 유의수준에서 기각입니다.
답안은 CLT 조건과 SE, 대수와의 한 줄 차이, z·t 선택 축, 자유도 n−1을 한 표에 닫습니다.