PE Notes · 확률통계
점추정과 구간추정
모수를 한 값으로 찍는 점추정과 신뢰구간으로 감싸는 구간추정을 가르고, 불편·일치·효율·충분과 신뢰수준·표본이 구간 폭을 바꾸는 법을 정리합니다.
전수를 셀 수 없으면 표본으로 모수를 짐작합니다. 한 숫자로 찍는 것이 이고, “이 안에 있을 것”으로 감싸는 것이 구간추정입니다. 점만 있으면 자신감은 커 보이지만, 그 점이 얼마나 흔들릴지는 말하지 않습니다.
한 점과 한 구간
점추정은 표본평균·표본비율·표본분산처럼 통계량 하나를 모수의 대리로 둡니다. 구간추정은 그 점 좌우에 오차 한계를 붙여 을 만듭니다. “168~172cm”는 추정치와 불확실성을 같이 보여 줍니다.
좋은 점추정량은 네 칸으로 봅니다. 은 기댓값이 모수와 같고, 일치성은 n이 커지면 모수로 수렴하며, 효율성은 같은 불편량 중 분산이 가장 작고, 충분성은 표본 정보를 최대한 압축합니다. 네 칸을 모두 가진 이상을 MVUE로 부릅니다.
| 비교축 | 점추정 | 구간추정 |
|---|---|---|
| 결과 | 단일 값 | 하한~상한 |
| 불확실성 | 표현하지 않음 | 신뢰수준으로 표현 |
| 예 | μ̂=170 | 168~172 |
| 장점 | 단순 | 정확도의 폭 |
신뢰구간이 넓어지는 이유
σ를 알면 x̄ ± z(α/2)·σ/√n 입니다. 모르면 표본표준편차 s와 t(n−1, α/2)로 바꿉니다. 95%면 z≈1.96, 99%면 z≈2.576이 관례입니다. 95%는 “이 공식을 여러 번 반복하면 구간 100개 중 약 95개가 참 모수를 품는다”는 뜻입니다. 이번 구간이 95% 확률로 참이라는 말이 아닙니다.
신뢰수준은 1−α이고, α와 한 쌍입니다. 양측 검정의 기각역 밖이 곧 신뢰구간입니다. 가설검정과 구간추정은 같은 통계량을 다른 방향으로 읽습니다.
| 요인을 키우면 | 구간 폭 |
|---|---|
| 신뢰수준 | 넓어진다 |
| 표본 크기 n | 좁아진다 |
| 모표준편차 σ | 넓어진다 |
폭을 줄이려면 n을 키우거나, 측정의 흩어짐을 줄입니다. 신뢰수준만 올리면 구간은 넓어져 “거의 항상 맞지만 쓸모가 없는” 칸이 됩니다. 답안은 점·구간 정의, 추정량 네 조건, σ 알고/모를 때 식, 폭 세 요인을 한 장에 닫습니다.