PE Notes · 확률통계
독립표본 t-검정 vs 대응표본 t-검정
서로 다른 두 집단의 독립표본 t와 같은 대상의 전후를 보는 대응표본 t를 가르고, 합동분산·자유도· Welch와 비모수 대안을 정리합니다.
남성과 여성의 혈압을 견주는 일과, 약 먹기 전후를 견주는 일은 같은 t가 아닙니다. 앞은 서로 다른 사람 두 집단이고, 뒤는 같은 사람의 두 측정입니다. 과 은 데이터 구조가 먼저 갈립니다.
두 집단인가, 한 쌍인가
독립표본은 집단이 섞이지 않습니다. 남성 혈압과 여성 혈압처럼 한 사람이 양쪽에 서지 않습니다. 대응표본은 같은 대상의 전·후이거나, 쌍둥이·매칭처럼 처음부터 쌍을 이룹니다. 개인 차이라는 큰 잡음을 빼므로 이 같은 n에서 더 나오는 편이 많습니다.
독립의 통계량은 (x̄₁−x̄₂)를 으로 나눕니다. s²_p = [(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2) 이고, 분모는 √(s²_p(1/n₁+1/n₂)), 자유도는 n₁+n₂−2 입니다. 대응은 각 쌍의 차이 dᵢ를 먼저 만들고, t = d̄/(s_d/√n), 자유도는 쌍 수 n−1 입니다. 한 표본 t와 같은 식입니다.
| 비교축 | 독립표본 t | 대응표본 t |
|---|---|---|
| 구조 | 두 독립 집단 | 동일 대상 2회·매칭 쌍 |
| 예 | 남 vs 여 혈압 | 복용 전·후 혈압 |
| 통계량 | (x̄₁−x̄₂)/SE_pooled | d̄/(s_d/√n) |
| 자유도 | n₁+n₂−2 | n−1 |
| 장점 | 다른 집단을 견준다 | 개인 변동을 뺀다 |
전제가 깨질 때
독립은 각 집단의 정규성, 관측 독립, 을 봅니다. 등분산은 Levene으로 확인하는 경우가 많습니다. 분산이 다르면 합동분산을 쓰지 않고 로 자유도를 낮춥니다. 대응은 원점수가 아니라 차이 d의 정규성을 봅니다.
정규가 아니면 순위로 갈아탑니다. 독립의 비모수 짝은 Mann-Whitney U, 대응의 짝은 Wilcoxon 부호순위입니다. 중앙값·순위 이야기로 바뀌므로, “평균 차이”라는 문장을 그대로 쓰면 안 됩니다.
| 모수 검정 | 전제 | 깨지면 |
|---|---|---|
| 독립 t | 정규·독립·등분산 | Welch, Mann-Whitney |
| 대응 t | d의 정규 | Wilcoxon 부호순위 |
설계가 대응인데 독립으로 풀면 개인 변동을 오차로 남겨 검정이 약해집니다. 반대로 독립 자료를 억지로 쌍으로 묶으면 허위 대응입니다. 답안은 구조 한 줄, 두 공식과 자유도, 등분산→Welch, 비모수 짝을 한 장에 닫습니다.